Sistema de coordenadas.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

Sistemas usuales.

Sistema de coordenadas cartesianas.

Las coordenadas cartesianas es aquel que formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada.

Sistema de coordenadas polares.

Las coordenadas polares se definen por un eje que pasa por el origen (llamado eje polar). La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje polar y la recta que pasa por ambos puntos.

Sistema de coordenadas cilíndricas.

El sistema de coordenadas cilíndricas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas.

El sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Coordenadas geográficas.

Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

·      DD Decimal Degree (Grados Decimales): ej. 49.500-123.500

·      DM Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0

·      DMS Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

Otro sistema de coordenadas geográficas muy usado es el sistema de coordenadas UTM.

Descripción de las Coordenadas cartesianas.

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada.

Sistema de coordenadas plano.

 

Sistema de coordenadas cartesianas.

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

OA = xA · i + yA · j ≡ (xA, yA) = A

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

dAB = [(xB - xA)² + (yB - yA)²]1/2

aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

AB = (xB - xA) · i + (yB - yA) · j

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial.

 

Coordenadas cartesianas espaciales.

Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z<0 y z>0.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

OA = xA · i + yA · j + zA · k ≡ (xA, yA, zA) = A

dAB = [(xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²]1/2

AB = (xB - xA) · i + (yB - yA) · j + (zB - zA) · k

Cambio del sistema de coordenadas.

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).

Traslación del origen

Pueden considerarse 2 traslaciones:

1.   Según el aspecto absoluto: Al pasar a otra posición, se indican las coordenadas de dicha posición.

2.   Según el aspecto relativo: Al pasar a otra posición, se indican las coordenadas a partir de la actual.

Traslación del Origen (en valores absolutos)

 

Traslación del origen en coordenadas cartesianas.

Suponiendo que en el sistema de coordenadas inicial con origen en O las coordenadas de un punto como el A sean (xA, yA), y que el origen se traslade a O' (xO, yO); las coordenadas del punto A, respecto del sistema trasladado serán:

OA = OO' + O'A

despejando

O'A = OA - OO' = (xA, yA) - (xO, yO) = (xA - xO, yA - yO)

por tanto

x'A = xA - xO

y'A = yA - yO

z'A = zA - zO (en el caso espacial)

Traslación del Origen (en valores relativos)

Traslación Relativa.

Cuando lo que se ofrece no es una coordenada final, sino un dato de traslación respecto de A, puede considerarse la traslación (A1), como la suma de coordenadas de A + el desplazamiento. (Hay que notar que un desplazamiento, relativo, implica que A es el centro de coordenadas relativas sobre D).

Es decir: Sea el desplazamiento D (Dx, Dy), entonces;

Si A=(xA, yA) entonces A + D = (xA, yA)+(Dx, Dy);

Finalmente, agrupando:

A1=(xA + Dx),(yA + Dy) y para el caso espacial: (zA + Dz)

 

Rotación alrededor del origen.

 

Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.

Supongamos ahora, que el nuevo sistema de coordenadas, ejes x' e y', resulta del giro del primitivo (x,y) un cierto ángulo α alrededor del origen de coordenadas.

Dado que los triángulos rectángulos sombreados son semejantes, a partir de las relaciones trigronométricas entre sus lados, fácilmente podemos obtener las nuevas coordenadas:

Del triángulo Ox'A1; x'A = 01 · cos α = (xA + xA1) · cos α

Del triángulo AxA1; xA1 = yA · tg α

Sustituyendo en la primera ecuación:

x'A = (xA + yA · tg α) · cos α = xA · cos α + yA · sen α

Operando de forma análoga con los triángulos 0y'A2 y AyA2, obtendríamos, como fácilmente se puede demostrar:

y'A = - xA · sen α + yA · cos α

Expresando matricialmente el cambio de coordenadas:

{OA'} = [T] {OA}

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Coordenadas polares.

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.

En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.

(Si trabajamos en el espacio, tenemos (x,y,z) como variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas polares).

Como pasar de un sistema de coordenadas a otro.

Utilizando las propiedades de la trigonometría clásica, tenemos que:

sin(α)= y/r ; cos(α)= x/r

de ahí obtenemos que x = cos(α) · r ; y = sin(α) · r

En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares.

Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de Pitágoras.

(a² + b² = c²) (la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa).

entonces: r² = (x² + y²); r = sqrt(x² + y²) (sqrt es la raíz cuadrada).

Para calcular α, basta calcular el arco seno de y/r, de donde obtendremos dos valores de α, lo mismo para el arco coseno de x/r, con otros dos valores. Con cualquiera de estas tres ecuaciones obtenemos el ángulo α buscado.

α = asin(y/r)

α = acos(x/r)

α = atan(y/x)

Coordenadas Cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

·      ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY.

·      φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.

·      z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas.

Relación con las coordenadas cartesianas.

Las coordenadas cilíndricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones:

y sus inversas:

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual φ no está definida.

Relación con las coordenadas esféricas.

Las coordenadas cilíndricas funcionan como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas. Éste último se relaciona con el de las cilíndricas por las ecuaciones

y sus inversas.

Líneas y superficies coordenadas.

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:

·      Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.

·      Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.

·      Líneas coordenadas z: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

·      Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.

·      Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

·      Superficies z=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada.

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones:

e inversamente:

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala:

Disponiendo de la base de coordenadas cilindricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es:

Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

 

Diferenciales de línea, superficie y volumen.

Diferencial de línea.

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por:

Diferenciales de superficie.

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es:

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son:

·      ρ=cte:

·      φ=cte:

·      z=cte:

Diferencial de volumen.

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que:

que para coordenadas cilíndricas da:

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas.

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

·      Gradiente.

·      Divergencia.

·      Rotacional.

 

·      Laplaciano.

 

Coordenadas esféricas.

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el acimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360ª (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas.

Convención norteamericana.

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

·      r (radio): es la distancia entre el punto P y el origen.

·      φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y

·      θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.

Convención no-norteamericana.

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

·      θ la colatitud.

·      φ el acimut.

Esta es la convención que seguiremos en lo que resta de artículo.

En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas.

Relación con las coordenadas cartesianas.

Las coordenadas esféricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y viceversa, de acuerdo con las relaciones:

y sus inversas.

Estas relaciones se hacen singulares en el propio eje z, en el cual φ no está definida.

Relación con las coordenadas cilíndricas.

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones:

y sus inversas:

Líneas y superficies coordenadas.

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

·      Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.

·      Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos).

·      Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

·      Superficies r=cte.: Esferas con centro el origen de coordenadas.

·      Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.

·      Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada.

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones.

e inversamente:

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala.

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es:

Nótese que no aparece término en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector .

Diferenciales de línea, superficie y volumen.

Diferencial de línea.

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por:

Diferenciales de superficie.

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es.

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son:

·      r=cte:

·      θ=cte:

·      φ=cte:

Diferencial de volumen.

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que:

Para coordenadas esféricas da:

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas.

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

·      Gradiente.

·      Divergencia.

·      Rotacional.

·      Laplaciano.